第3篇 结构分析其他问题
第七章 影响线及其应用
$7-4 机动法作梁影响线
静定梁的影响线除可以用静力法求得外，还可以用机动法作出。用机动法作影响线是以虚位移原理为依据的，它把作反力和内力影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。先以绘制图7-10a所示简支梁的反力F。影响线为例说明这一方法。为了求出反力FAy，应将与它相应的约束去掉而以力X代替其作用，如图7-10a所示。这样，原结构便成为具有一个自由度的机构。使该机构发生任意微小的虚位移，并以。和，分别表示X和Fr的作用点沿力方向产生的虚位移，则根据虚位移原理有
X8x+Fn6n=0
作影响线时，取Fp=1，故得
X=n
考虑到体系只有一个自由度，不论虚位移8x为何值，比值”的变化规律恒为一定。其中ax在给定虚位移的情况下是不变的，但8n却随荷载Fp=1的位置不同而变化。于是，比值”的变化规律就反映出F，=1移动时X的变化规律。为了简便计算，令8x=1，则上式变为
X=—ъp
由此可知，使8x=1时的虚位移8n图就代表X的影响线，只是符号相反。由于规定p是以与力Fr的方向一致者为正，即图以向下为正，而X与p反号，故X的影响线应以向上为正。因此，可作出Fx,的影响线如图7-10c所示。
综上所述，为了作出量值X的影响线，只需将与X相应的约束去掉，并使所得机构沿X正向发生单位位移，则由此得到的虚位移图即代表X的影响线。这种绘制影响线的方法称为动法。若机动法中机构沿X的正向发生任意位移，则不经计算就能迅速绘出影响线的轮廓，对于超静定梁的设计是很方便的。下面再讨论用机动法作图7-11a所示简支梁上截面C的弯矩影响线。为此，先将与M应的约束去掉，即在截面C处改刚接为铰接，并以一对大小为M。的弯矩代替原有约束的作 然后，使AC和BC两部分沿Mc的正向发生虚位移（图7-1b）。根据虚位移原理，可写出
Mc(a+B）+Fnon=0
式中右边分母的a+8=x是饺C左右两侧截面的相对转角。考虑到是微小转角，可先求得
AA，=6x-a,再由几何关系求得点C的竖向位移CC1=48x。若使a。=a+β=1，则所得到的虚位移图即表示Mc的影响线，如图7-1lc所示。
同理，绘制剪力Foc的影响线时可去掉与Foc相应的约束，得到图7-11d所示的机构。使其沿Fac的正方向发生虚位移，并写出如下方程
Foc(CC1+CC2)+FpOp=0
若使ax=CC1+CC2=1，亦即C点左、右两截面在垂直于杆轴（即沿截面）方向的相对位移等于1，则所得到的虚位移图便代表Foc的影响线，如图7-11e所示。值得注意的是，在图7-11d中，AC和CB两部分是用平行于杆轴的两根链杆相联的，它们之间的相对运动只能在垂直于链杆的方向作平行移动，故在图7-11d所示的虚位移图中AC，和BC2应互相平行，就是说Foc影响线的左、右两直线是相互平行的。用机动法作静定梁的内力或反力影响线时，原结构去掉约束后成为具有一个自由度的机构。当此机构发生虚位移时，各杆段将如同刚杆那样发生符合约束条件的转动或移动，由此所得到的虚位移图必然由直线段组成。这再次证明静定结构反力和内力的影响线是直线图形。利用机动法，除了绘制影响线外，也可对静力法所绘制的影响线进行校核，读者可自行尝试。
超静定梁的影响线一般都是曲线。用静力法绘制各量值的影响线时，必须先解算超静定结构，得到影响线方程，再依次求出各等分点处的竖标，连成曲线。显然，这样绘制影响线比较繁杂，工程上并不常用。不过，在建筑工程中，通常连续梁承受的活载多为可动均布荷载（如楼面上的人群荷载），这时不必求出影响线竖标的具体数值，只要根据影响线的轮廓就可确定其最不利荷载位置，而机动法可以很容易做到这点。
设有一n次超静定连续梁（图7-12a)，欲绘制其上某指定量值Xx（例如Mx)的影响线，可先去掉与Xx相应的约束，并以Xx代替其作用，如图7-12b所示。再以所得到的n-1次超静定结构作为按力法计算Xx的基本体系。根据原结构在截面K处已知的位移条件，可建立如下力法典型方程式中axx代表基本结构上由于Xx=1的作用，在截面K处沿X方向所引起的相对角位移（信7-12c）。它是一个常数且恒为正值。onm代表由于X=1的作用，在移动荷载F。的方向上所乳起的位移。它将随着Fn=1的位置不同而变化，其变化规律的图形如图7-12c中虚线所示，围为基本结构由于xx=1的作用所引起的竖向px位移图。由此可知，若将8*位移图的坚标柔以常数（一一），便得到Xx的影响线。因此，Spm位移图的轮廓即代表了X。影响线的轮廓。
由于连续梁位移图的轮廓一般可凭直观描绘出来，依据上述机动法原理，毋需进行具体计算，即可迅速确定影响线的大致形状。注意到竖向位移pk图的竖标是以梁轴线下方为正，面Xx与pk反号，故在用机动法确定Xx影响线的轮廓图时，应取梁轴线上方竖标为正，下方为负（图7-12d)。应用上述原理，不难确定连续梁其他量值影响线的轮廓。图7-13a、b、c分别绘品了连续梁剪力Fox、支座弯矩Mc和支座反力Fa,影响线的轮廓。
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